Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 5
5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4,
1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chun ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,
sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn
chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9. (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc
ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6
chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.
11. (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau và khơng chia hết cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5
cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6
học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn
và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn
lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
13. (ĐH Huế khối A chun ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học
sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chun ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta
có thể lập được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đơi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi một.
15. (ĐH Y HN 2000) Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn
cơng tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu
cách?
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ
số trong đó các chữ số khác nhau từng đơi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Ngun khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
18. (ĐH Thái Ngun khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Ngun khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi
số là một số lẻ.
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 6
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đơi
một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3,
4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu
khơng nằm liền nhau.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1,
2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các
chữ số của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong
mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật qn sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân cơng?
26. (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách
cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán
bộ lớp.
27. (HV Qn y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào
một dãy 7 ơ trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp
cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30. (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9
em nam, 6 em nữ. Cơ giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3
em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32. (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số
có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác
có mạt đúng 1 lần.
33. (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
34. (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có
số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó khơng có q 1 nam.
35. (ĐH Giao thơng vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho khơng có chữ số nào
lặp lại đúng 3 lần?
37. (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5
em tham dự lễ mittinh tại trường với u cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
38. (HV Kỹ thuật qn sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có
bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 7
nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đơi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đơi một khác
nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được
bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng
dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi
chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số
có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng
khơng có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có
mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt khơng q một lần.
45. (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được lập
từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
47. (ĐH Thái Ngun khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các
số đó nhỏ hơn số 345.
48. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để
đi làm cơng tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít
nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
49. (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba
chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 789?
50. (ĐH khối D dự bị 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7
học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh
trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà
mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số
đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 8
chéo gấp đơi số cạnh.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ
số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi
số gồm 4 chữ số khác nhau.
59. (ĐH khối B 2004) Trong một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,
10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và
số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho
mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn
bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,
mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm 5
học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao
cho 4 học sinh này thuộc khơng q 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học
sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối
C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ
số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
67. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Trên đường thẳng
d
1
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d
2
cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.
Phần II. BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
1. (CĐSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:
k k 2 k 1
14 14 14
C C 2C
2. (ĐHDL Kỹ thuật cơng nghệ khối D 1999) Tính tổng:
6 7 8 9 10
10 10 10 10 10
C C C C C
trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử.
3. (ĐH Ngoại ngữ HN chun ban 1999) Tìm các số ngun dương x thoả:
1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x
4. (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng: S =
1 2 3 4 n 1 n
n n n n n
C 2C 3C 4C ( 1) .nC
trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.
5. (ĐHQG HN khối A 2000) Chứng minh rằng:
k k 1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
C C C C
(trong đó k ngun, 0 ≤ k ≤ 2000)
6. (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của biểu thức sau:
17
4
3
3
2
1
x
x
, x ≠ 0
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 9
7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình:
2 2 3
2x x x
1 6
A A .C 10
2 x
8. (ĐHSP HN khối A 2000) Trong khai triển nhị thức
n
28
3
15
x x x
, hãy tìm số hạng khơng phụ
thuộc vào x, biết rằng
n n 1 n 2
n n n
C C C 79
9. (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x
2
+ 1)
n
bằng
1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) Tính tổng: S =
0 1 2 n
n n n n
1 1 1
C C C C
2 3 n 1
11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh:
n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 4 4 n n 1
n n n n n
2 C 2 C 2 C 2 C nC n.3
12. (ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000) Tìm hệ số của x
31
trong khai triển của f(x) =
40
2
1
x
x
13. (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh rằng với mọi số ngun n ≥ 2, ta ln có:
2 2 2 2
2 3 4 n
1 1 1 1 n 1
n
A A A A
14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)
9
+ (1 + x)
10
+ (1 + x)
11
+ … + (1 + x)
14
có
dạng khai triển là: P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
14
x
14
. Hãy tính hệ số a
9
.
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số ngun dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1.
0 1 2 n
n n n n
C C C C
= 2
n
2.
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
C C C C
=
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
C C C C
16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
Tính tổng: S =
0 1 2 2000
2000 2000 2000 2000
C 2C 3C 2001C
17. (HV Kỹ thuật qn sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)
12
thành dạng:
a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
12
x
12
Tìm max(a
1
, a
2
, …, a
12
).
18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I =
1
2 n
0
x(1 x ) dx
(n N*)
Từ đó chứng minh rằng:
n
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 ( 1) 1
C C C C C
2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)
19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6
+ (x + 1)
7
20. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
, … với
x
n
=
4
n 4
n 2 n
A
143
P 4P
(n = 1, 2, 3, …)
21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:
2 2 2
2 3 n
1 1 1
A A A
=
n 1
n
.
22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:
y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 10
23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
1. Tính tích phân: I =
1
6
0
(x 2) dx
2. Tính tổng: S =
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 1
C C C C C C C
1 2 3 4 5 6 7
24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)
Chứng minh rằng với mọi số x ta có: x
n
=
n
k k
n
n
k 0
1
C (2x 1)
2
(n N) (*)
25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
S =
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1 1 1
C C .2 C .2 C .2 C .2
2 3 4 n 1
26. (ĐH Hàng hải 2001)
Chứng minh:
0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n
C C .3 C .3 C .3 2 (2 1)
27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
1 n 1 2 n 2 3 n 3 n
n n n n
C .3 2.C .3 3.C .3 n.C
= n.4
n–1
28. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của
10
1 2
x
3 3
thành đa thức:
a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
9
x
9
+ a
10
x
10
(a
k
R)
hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).
29. (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số ngun dương cố định. Chứng minh rằng
k
n
C
lớn
nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất khơng vượt q
n 1
2
.
30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng:
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
C 3 C 3 C 3 C 2 (2 1)
31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Cho k và n là các số ngun thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:
2
n n n
2n k 2n k 2n
C .C C
32. (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức:
n n n 1
x xx 1 x 1 x 1
0 1
3 32 2 2
n n
n 1 n
x x
x 1
n 1 n
3 32
n n
2 2 C 2 C 2 2
C 2 2 C 2
(n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
n n
C 5C
và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm
n và x.
33. (ĐH khối B 2002) Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
(n ≥ 2, n ngun) nội tiếp đường tròn (O). Biết
rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n
. Tìm n?
34. (ĐH khối D 2002) Tìm số ngun dương n sao cho:
0 1 2 n n
n n n n
C 2C 4C 2 C
= 243
35. (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n ngun dương thoả mãn bất phương trình:
3 n 2
n n
A 2C
≤ 9n.
36. (ĐH dự bị 4 2002) Giả sử n là số ngun dương và:
(1 + x)
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
k
x
k
+ … + a
n
x
n
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 11
Biết rằng tồn tại số k ngun (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho
k 1 k k 1
a a a
2 9 24
. Hãy tính n.
37. (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a
1
, a
2
, …, a
11
là các hệ số trong khai triển sau:
(x + 1)
10
.(x + 2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+ … + a
11
.
Hãy tính hệ số a
5
.
38. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
5
3
1
x
x
, biết rằng:
n 1 n
n 4 n 3
C C 7(n 3)
(n ngun dương, x > 0).
39. (ĐH khối B 2003) Cho n là số ngun dương. Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C C
2 3 n 1
40. (ĐH khối D 2003) Với n là số ngun dương, gọi a
3n–3
là hệ số của x
3n–3
trong khai triển thành
đa thức của (x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n–3
= 26n.
41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
2 n 2 2 3 3 n 3
n n n n n n
C C 2C C C C
= 100
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta đều có:
1 3 5 2n 1 0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
C C C C C C C C
43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Giải phương trình:
1 2 3
x x x
C 6C 6C
= 9x
2
– 14x
2. Chứng minh rằng:
1 3 5 17 19
20 20 20 20 20
C C C C C
= 2
19
44. (CĐ khối AD 2003)
Chứng minh rằng: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ nP
n
= P
n+1
– 1
45. (CĐ Giao thơng II 2003) Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ≥ 2, ta đều có:
n 1
n
0 1 n
n n n
2 2
C C C
n 1
46. (CĐ Giao thơng III 2003)
1. Tính tổng: S =
1 2 3 4 n 1 n
n n n n n
C 2C 3C 4C ( 1) nC
(n > 2)
2. Tính tổng: T =
0 1 2 n
n n n n
1 1 1
C C C C
2 3 n 1
biết rằng n là số ngun dương thoả điều kiện:
n n 1 n 2
n n n
C C C 79
47. (CĐ Tài chính kế tốn IV 2003) Chứng minh rằng:
0 k 1 k 1 2 k 2 k
2 n 2 2 n 2 2 n 2 n
C C C C C C C
(với n, k Z
+
;n ≥ k + 2)
48. (CĐ Tài chính kế tốn IV 2003 dự bị)
Giải bất phương trình:
3 n n n
n 2n 3n
(n!) C .C .C 720
49. (CĐ Cơng nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)
2003
.
Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
2003
x
2003
Tính tổng S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ … + a
2003
.
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)
Tìm số ngun dương n thoả mãn đẳng thức:
3 2
n n
A 2C 16n
51. (CĐ Nơng Lâm 2003)
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của:
15
1 2
x
3 3
.
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 12
52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)
2n
, với n là số ngun dương. Từ đó chứng minh rằng:
1 3 2n 1 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
1C 3C (2n 1)C 2C 4C 2nC
53. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1 + x
2
(1 – x)]
8
.
54. (ĐH khối D 2004) Tìm các số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:
7
3
4
1
x
x
với x > 0
55. (ĐH khối A 2005) Tìm số ngun dương n sao cho:
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2C 3.2 C 4.2 C (2n 1).2 C
= 2005
56. (ĐH khối D 2005) Tính giá trị của biểu thức: M =
4 3
n 1 n
A 3A
(n 1)!
biết
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C
= 149.
57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức (2 – 3x)
2n
, trong đó n là số
ngun dương thoả mãn:
1 3 5 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C C C C 1024
58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)
Tìm k {0; 1; 2; …; 2005} sao cho
k
2005
C
đạt giá trị lớn nhất.
59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số ngun n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2P
n
+ 6
2 2
n n n
A P A
= 12.
60. (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
7
4
1
x
x
, biết rằng:
1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1
C C C 2 1
61. (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A
bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…, n} sao cho số tập con gồm k phần
tử của A là lớn nhất.
62. (CĐ Bán cơng Hoa Sen khối A 2006)
Giải hệ phương trình:
x x
y y 2
x x
y y
1
C :C
3
1
C : A
24
63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
Tìm số tự nhiên n sao cho:
n n n
4 5 6
1 1 1
C C C
64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)
Tính tổng S =
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
1.C 2.C 3.C (n 1).C
A A A A
Biết rằng:
0 1 2
n n n
C C C 211
65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được đa thức có dạng:
a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71.
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức
n
2
3
1
x
x
,
biết rằng:
1 3
n n
C C 13n
(n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0)
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 13
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)
Tìm n N sao cho:
0 2 4 2n
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2
C C C C 256
68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) Cho A =
20 10
3
2
1 1
x x
x
x
. Sau khi khai triển và
rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
69. (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:
0 2 2 2k 2k 2n 2 2n 2 2n 2n 15 16
2n 2n 2n 2n 2n
C C 3 C 3 C 3 C 3 2 (2 1)
70. (CĐ Xây dựng số 2 2006) Chứng minh:
0 n 1 n 1 n n 0 1 n
n n n n n n
C 3 C 3 ( 1) C C C C
71. (CĐ KT Y tế 1 2005) Giải bất phương trình:
2 2
x 1 x
2C 3A 20 0
72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x
29
y
8
trong khai triển của (x
3
– xy)
15
.
73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được đa thức có dạng:
a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71.
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97
Trang 14
ĐÁP ÁN PHẦN TỐN TỔ HỢP
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
X A
X 1 Y
1 X
Y 3,4,5,6,7,8
2 X
.
Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 2
6
= 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A.
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi
123
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n
Tính m: Lập một số chẵn
5 4 3 2 1
a a a a a
gồm 5 chữ số khác nhau a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
A, có nghóa là:
Lấy a
1
từ {2, 4, 6, 8} có 4 cách
Lấy a
2
, a
3
, a
4
, a
5
từ 7 số còn lại của A có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
Tính n: Lập một số chẵn
2 1
123a a
bắt đầu bởi 123; a
1
,a
2
A; a
1
≠ a
2
Lấy a
1
từ {4,6,8} có 3 cách
Lấy a
2
từ A \ {1,2,3,a
1
} có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách
Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán: 2! cách
Nhóm sách Văn: 4! cách
Nhóm sách Anh: 6! cách
Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học
sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học
sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức
abcde
(kể cả a = 0), có 4 cách chọn e {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là:
4
7
A
= 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng
0bcde
. Có 3 cách chọn e, và
3
6
A
cách chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét