Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luận
văn .
Tôi xin chân thành cảm ơn khoa Toán , khoa sau Đại học trường đại học
sư phạm Thái Nguyên , Viện toán học Việt Nam đã giúp đỡ và tạo điều kiện
để tôi hoàn thành luận văn này .
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường CĐCN Việt
Đức , đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB , gia đình và bạn bè tôi đã
hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học và hoàn thành luận văn .
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót . Rất mong nhận được sự
góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên , tháng 8 năm 2007
Học viên
Đào Thị Thanh Thuỷ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chƣơng 1
Kiến thức cơ sở
1.1.Trƣờng định chuẩn không Acsimet.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử K là trường , chuẩn trên K là hàm
. : K
R
+
thoả mãn :
i)
x
= 0
x = 0,
ii)
xy
=
x
y
,
x, y
K,
iii)
yx
x
+
y
,
x, y
K.
Chuẩn . được gọi là chuẩn không Acsimet nếu thoả mãn điều kiện
iv)
yx
max {
x
,
y
},
x, y
K.
Một chuẩn . trên K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định
nghĩa bởi
d(x,y) =
yx
,
x, y
K.
Nếu chuẩn . là không Acsimet thì mêtric cảm sinh d thoả mãn:
d(x,y)
max {d(x,z) , d(z,y)},
x, y ,z
K.
mêtric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu mêtric.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm
. : K
R
+
x
x
=
0.
0
x nÕu 0
x nÕu 1
Khi đó , . là một chuẩn không Acsimet trên K và mêtric cảm sinh
d : K
K
R
+
(x,y)
d(x,y) =
y.x nÕu
x nÕu
0
y1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
là một siêu mêtric. Mêtric này được gọi là mêtric tầm thưòng .
Ta xét một số đặc trưng của tôpô sinh bởi chuẩn không Acsimet thông
qua các hình cầu như sau:
Với r
R
+
ta định nghĩa hình cầu mở , đóng tâm a , bán kính r là :
K(a;r) =
x
K d(x,a) < r
K [a;r] =
x
K d(x,a)
r
Mênh đề 1.1.3. Giả sủ K là trường định chuẩn không Acsimet . Ta có :
i ) Nếu b
K(a;r) thì K(a;r) = K(b;r)
ii ) Hình cầu K(a;r) là tập mở và cũng là tập đóng.
iii ) Hai hình cầu mở (hình cầu đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau.
Trƣờng số p - adic1. 2.
Với p
Z , p là số nguyên tố thì mọi số nguyên a
0 có thể biểu diễn
duy nhất dưới dạng:
a = p
a
’
, với p không chia hết a
’
, a
’
Z \
0
.
Kí hiệu :
=
p
(a) . Vậy ta có hàm :
p
: Z \
0
N
a
p
(a).
Ta mở rộng hàm
với x =
b
a
Q như sau . Đặt :
p
(x) =
0
0
x nÕu ,
x nÕu),()( ba
pp
Với mỗi số nguyên p , xét
p
: Q
R
+
x
p
x
=
p
1
, với
=
p
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Khi đó , .
p
là một chuẩn không Acsimet trên Q và được gọi là chuẩn
p - adic.
Mệnh đề 1.2.1(Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều
tương đương với một trong hai chuẩn sau :
1) Chuẩn p - adic , với p là số nguyên tố;
2) Giá trị tuyệt đối thông thường.
Như vậy ta có hai hướng làm đầy trường các số hữu tỷ Q.
+ Làm đầy theo giá trị tuyệt đối thông thường ta thu được trường các số
thực R
+ Làm đầy theo chuẩn p - adic ta thu được trường các số p - adic.
Cụ thể là , chúng ta có thể xây dựng Q
p
đầy đủ hoá của Q theo chuẩn
.
p
như sau .
Dãy
n
x
được gọi là dãy Cauchy theo .
p
nếu
0
,
n
0
N sao
cho
m , n > n
0
thì
p
nm
xx
. Hai dãy Cauchy
n
x
,
n
y
được gọi là
tương đương nếu
0
p
nn
yx
. Với
n
x
là dãy Cauchy theo .
p
, ta kí hiệu
n
x
là tập các dãy Cauchy tương đương với
n
x
. Đặt Q
p
là tập tất cả các lớp
tương đương theo chuẩn .
p
.
Trên Q
p
trang bị các phép toán như sau.
Với
n
x
,
n
y
Q
p
, ta định nghĩa:
n
x
+
n
y
=
nn
yx
;
n
x
.
n
y
=
nn
yx .
.
Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp
tương đương . Khi đó , Q
p
là một trường và là trường định chuẩn với chuẩn .
p
.
Định nghĩa 1.2.2. Với
Q
p
và
n
x
Q
sao cho
n
x
=
thì ta xác
định :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
p
=
n
lim
p
n
x
.
Chú ý rằng định nghĩa trên xác định theo tính chất sau của chuẩn p -
adic.
Mệnh đề 1.2.3. Q
p
là đầy đủ hoá của Q theo chuẩn .
p
và tập giá trị
của Q và Q
p
theo .
p
là trùng nhau , đó là tập
0, Znp
n
.
Tương tự như quá trình đầy đủ hoá Q theo .
, ta nhận được một
trường Q
p
đầy đủ nhưng không đóng đại số . Người ta đã giải quyết vấn đề
này bằng một mở rộng trường như sau
Xét mở rộng chuẩn tắc Q
p
K và nhóm Galois G(K/ Q
p
) . Đặt:
p
QK
N
/
: K
Q
p
p
QK
N
/
(
) =
)/(
)(
P
QKG
,
với
là tự đẳng cấu trên K giữ nguyên các phần tử của Q
p
. Chú ý rằng nếu
bậc của mở rộng trường [K : Q
p
] = n thì
p
QK
N
/
(
) =
n
,
Q
p
.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử K/ Q
p
là mở rộng chuẩn tắc bậc n . Khi đó tồn
tại duy nhất một chuẩn không Acsimet . trên K mở rộng chuẩn p - adic
trên và được xác định như sau :
n
p
QK
xNx
p
)(
/
,
và trường K đầy đủ với chuẩn . .
Đặt
p
Q
là trường đóng đại số của Q
p
. Trên
p
Q
ta trang bị một chuẩn
không Acsimet như sau :
Với mọi x
p
Q
, tồn tại một mở rộng chuẩn tắc bậc n sao cho x
K, khi
đó :
n
p
QK
xNx
p
)(
/
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
và chuẩn
x
không phụ thuộc vào sự tồn tại của K .
Ta có kết quả sau :
Mệnh đề 1.2.5. Hàm . :
p
Q
R
+
xác định như trên là chuẩn
không Acsimet duy nhất mở rộng chuẩn p - adic trên Q
p
. Tuy nhiên,
p
Q
không đầy đủ theo chuẩn . .
Ta đầy đủ hoá
p
Q
theo mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.6. Tồn tại một trường
p
C
với chuẩn không Acsimet .
sao cho:
i)
p
Q
trù mật trong
p
C
và chuẩn không Acsimet . là mở rộng của
chuẩn trên
p
Q
ban đầu;
ii)
p
C
đầy đủ với chuẩn . và
p
C
là một trường đóng đại số.
1.3 Hàm chỉnh hình trên trƣờng không Acsimet.
Ta kí hiệu K là trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn không Acsimet
. và có đặc số 0.
Các khái niệm về dãy , về chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống
như trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet
ta có một số tính chất đặc biệt sau.
Bổ đề 1.3.1 Giả sử
n
x
là một dãy trong K . Dãy
n
x
là dãy Cauchy
nếu và chỉ nếu
nn
n
xx
1
lim
= 0 .
Chứng minh
Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy.
Ta chứng minh điều kiện cần với mọi n , p
N ta có :
npn
xx
=
nnpnpnpnpn
xxxxxx
1211
max
nnpnpnpnpn
xxxxxx
1211
, ,,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Vì
n
lim
nn
xx
1
= 0 nên suy ra điều phải chứng minh.
Từ các tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số , chuỗi
luỹ thừa , ta có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.2. Chuỗi
0n
n
a
, a
n
K hội tụ khi và chỉ khi
n
lim
a
n
= 0 .
Khi đó ta có:
n
n
n
n
aa max
0
Chuỗi luỹ thừa f(z) =
0n
n
n
za
, a
n
K hội tụ tại z khi và chỉ khi
n
lim
n
n
za
=0 .
Mệnh đề 1.3.3. Đặt
=
n
n
asuplim
1
, khi đó ta có :
i) Nếu
= 0 thì f (z) chỉ hội tụ tại z = 0 .
ii) Nếu
=
thì f (z) hội tụ với mọi z
K.
iii) Nếu 0 <
<
và
n
n
a
0 thì f (z) hội tụ khi và chỉ khi
z
.
iv) Nếu 0 <
<
và
n
n
a
0 thì f (z) hội tụ khi và chỉ khi
z
.
Khi đó ,
được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f (z) .
Tập các chuỗi luỹ thừa f (z) =
0n
n
n
za
, an
K thoả mãn với cấu trúc
cộng và nhân hai luỹ thừa là một vành , kí hiệu là
)(KA
r
.
Đặt A(K) =
)(KA
- tập các hàm nguyên trên K , và
)(KA
r
= { f (z) | bán kính hội tụ
r }.
Ta có :
)(KA
r
=
rs
)(KA
s
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Định nghĩa 1.3.4. Với f (z) =
0n
n
n
za
)(KA
và 0 < r
, ta
định nghĩa số hạng lớn nhất :
),( fr
=
n
n
n
ra
0
max
và
),( fr
= max
),(| frran
n
n
là chỉ số ứng với
số hạng lớn nhất
),( fr
.
Với r = 0 , ta định nghĩa :
),0( f
=
0
lim
r
),( fr
;
),0( f
=
0
lim
r
),( fr
.
Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất , ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.5. Với r > 0 , hàm
,.)(r
:
)(KA
r
R
+
thoả mãn :
i)
),( fr
0 ;
),( fr
= 0 khi và chỉ khi f = 0 ;
ii)
),( fgr
=
),( fr
),( gr
, do đó
),( fr
=
),( fr
, với
K;
iii)
),( gfr
max {
),( fr
;
),( gr
};
Khi đó ,
,.)(r
là một chuẩn không Acsimet trên
)(KA
r
và
iv)
)(KA
r
đầy đủ với chuẩn
,.)(r
;
v) Vành đa thức K[z] trù mật trong
)(KA
r
theo
,.)(r
.
Định lí 1.3.6 (Định lí Weierstrass). Với f
)(KA
r
\
0
, r > 0 , tồn
tại một đa thức :
g (z) = b
0
+ b
1
z + . . . +
zb
K [z] với
=
),( fr
và một chuỗi luỹ thừa :
h [z] = 1 +
1n
n
n
zc
, cn
K .
thoả mãn :
i) f (z) = h(z) g(z),
ii)
),( gr
=
rb
,
iii) h
)(KA
r
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
iv)
)1,( hr
< 1 và
),( gfr
<
),( fr
.
Định nghĩa 1.3.7. Với U
K là tập mở , hàm f : U
K được gọi là
khả vi tại z
0
U nếu tồn tại :
)(:
)()(
lim
0
'
00
0
zf
h
zfhzf
h
Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z
U .
Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm
'
f
như sau:
Mệnh đề 1.3.8. Giả sử chuỗi f (z)=
0n
n
n
za
có bán kính hội tụ
0 và
z
K. Nếuf (z) hội tụ thì
'
f
(z) tồn tại và :
1
1'
)(
n
n
n
znazf
.
Hơn nữa f và
'
f
có cùng bán kính hội tụ
và thoả mãn :
rfr
r
fr 0,),(
1
),(
'
.
Mệnh đề 1.3.9. Với dãy
*
Kz
n
:
n
z
thì tích vô hạn
f (z) =
1
)1(
n
n
z
z
là một hàm nguyên.
Ngược lại , giả sử f là một hàm nguyên khác đa thức thì f có thể biểu
diễn dạng :
f (z) = az
m
1
)1(
n
n
z
z
với m > 0 , a
K , z
n
0 ,
n
z
và f (z
n
) = 0.
Hệ quả 1.3.10. Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô số không
điểm ;
Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng;
Tồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Hệ quả 1.3.11. Giả sử f , g
0\)(KA
. Nếu f g là hàm hằng thì f và g
là những hàm hằng.
Giả sử f, g
0\)),(( radA
. Nếu f g bị chặn thì f và g là những hàm bị chặn.
Định nghĩa 1.3.12. Giả sử D là tập vô hạn trong K , R(D) là tập các hàm
hữu tỉ h không có cực điểm trong D . Khi đó , với mọi h
R(D) đặt :
)(sup zhh
Dz
D
Kí hiệu , H (D)là đầy đủ hoá của R(D) theo tô pô sinh bởi chuẩn hội tụ
đều trên D.
Mỗi phần tử của H (D)được gọi là một hàm giải tích trên D
Khi đó , H (D)là một K - không gian véc tơ và mỗi hàm giải tích trên D
là giới hạn đều của một dãy các hàm hữu tỉ
R(D).
Mệnh đề 1.3.13. Với r
R
+
, ta có H (K [0;r]) =
)(KA
r
.
Chứng minh
Vì vành các đa thức K [z] trù mật trong
)(KA
r
nên ta suy ra :
)(KA
r
H (K [0;r] ) (*)
Ngược lại , với
a
K \ K [0;r] , k
Z
+
ta có:
kn
n
k
a
z
aaz
))(
1
()
1
(
0
.
=
n
n
n
k
a
z
b
a
)()
1
(
0
)(KA
r
, với bn
Z
+
.
Vì
a
> r nên suy ra:
0
nn
n
n
a
r
r
a
b
)(
.
Do đó:
k
az
)
1
(
)(KA
r
hay R (K [0;r])
)(KA
r
. (**)
Mặt khác , vì
),( fr
liên tục tại r nên ta suy ra:
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét