Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1
MỞ ĐẦU

Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho
,XY
là hai đa tạp phức, giả sử
D
( tương ứng
G
)
là một tập con mở của
X
(tương ứng
Y
),
A
(tương ứng
B
) là một tập con
của
D
(tương ứng
G
) và
Z
là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ
thập như sau:
: (( ) ) ( ( )).  W D A B A G BÈÈÈ

Bao chỉnh hình của chữ thập
W
là một tập con mở ''tối ưu'' của
XY
ký hiệu là


W
được đặc trưng bởi các tính chất sau:
Với mỗi ánh xạ
: f W Z
thoả mãn

( , ) ( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ) ( , ), ,


f a G B Z G Z a A
f b D A Z D Z b B
Î È Ç Î
Î È Ç Î
CO
CO

thì tồn tại một ánh xạ



( , )f W ZÎ O
sao cho với mọi
( ) ,WÎz,h

( , )f z w
dần tới
( , )f zh
khi


( , )z w WÎ
dần tới
()z,h
.
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho
, , , , ,X Y D G A B
và
Z
và
W
như trong bài toán 1.Giả sử
,MW

tập hợp
 
: :( , ) , ,
a
M w G a w M a AÎ Î Î
được gọi là thớ thẳng đứng của
M

trên
a
(tương ứng
 
: :( , ) , ,
b
M z D z b M b BÎ Î Î
được gọi là thớ nằm ngang
của
M
trên
b
).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2
Ta nói rằng
M
có tính chất nào đó trong các thớ trên
A
(tương ứng
B
)
nếu tất cả các thớ thẳng đứng
,,
a
M a AÎ
(tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
,,
b
M b BÎ
) có tính chất này.
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu


W
là bao chỉnh hình của
W
được
đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con
MW
đa cực địa phương đóng
tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên
A
và
B
(có thể
M Æ
) thì
tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị



MW
là đa cực địa phương đóng
tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các
tính chất sau. Với mọi ánh xạ
: f W Z
thoả mãn

( , ) (( ) , ) ( , ), ,
( , ) (( ) , ) ( , ), ,


aa
bb
f a G B \ M Z G \ M Z a A
f b D A \ M Z D \ M Z b B
Î È Ç Î
Î È Ç Î
CO
CO

thì tồn tại ánh xạ




( \ , )f W M ZÎ O
sao cho với mọi
( ) ,W \ MÎz,h

( , )f z w
dần
tới
( , )f zh
khi



( , ) \z w W MÎ
dần tới
()z,h
.
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp
, , , ,       
nm
X Y A D B G Z
và
kết quả là


W D G
. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
bài toán 1 trong trường hợp
, , ,     A D B G X Y Z
. Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3
Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong
trường hợp
, A D B G
và
,XY
là các đa tạp Stein,
Z
là không gian giải
tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình


W
được cho bởi


 
 
: ( , ) ): ( , , ) ( , , ) 1  W z w D G z A D w B GÎ<ww
,
trong đó

( , , ) ADw
và

( , , ) BGw
là các hàm độ đo đa điều hoà dưới.
Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem
[24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra
một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ
thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu
này.
Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung
quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp
,XY
là các đa tạp tuỳ ý.
Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các
đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng
một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà
dưới, định lý chữ thập hỗn hợp.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những
chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập
đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ
chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4
Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một
số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý
Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến.
Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp
tổng quát của bài toán 1và bài toán 2.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo
T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học
sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
trong suốt khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và
Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này.










Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn
chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu
gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con
S
của không gian
tôpô
M
, ký hiệu
S
là bao đóng của
S
trong
M
. Với hai không gian giải
tích phức
(tương ứng, hai không gian tôpô)
D
và
Z
,
( , )DZO
( tương ứng
( , )DZC
) là
ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ
D
vào
Z
.
1.1. Miền xấp xỉ
1.1.1. Định nghĩa. Cho
X
là một đa tạp phức và
DX
là một tập con mở.
Một hệ các miền xấp xỉ của
D
là một tập hợp
,
( ( )) (

  
DI
IA= A
z
az
za
z
với
mọi
DÎz
) các tập con mở của
D
có các tính chất sau:
(i) Với mọi
DÎz
, hệ
( ( ))
I
A
z
aa
z
tạo nên một cơ sở các lân cận mở
của
z
(tức là với mỗi lân cận mở
U
của một điểm
DÎz
tồn tại
Î I
z
a
sao cho
()AÎ U
a
zz
).
(ii) Với mọi
DÎz
và
z
a IÎ
,
()AÎ
a
zz
.

()A
a
z
thường được gọi là một miền xấp xỉ tại
z
.
Hơn nữa
A
được gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất
sau (mạnh hơn (ii)).
(ii') Với mọi điểm
Î Dz
tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở
()
I
U
z
aa
của
z
trong
X
sao cho
( ) , .A ÇÎU D I
a a z
za

Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải
tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6
D
được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong
D
của các
ánh xạ xác định trên một số tập con mở của
D
. Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1
suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con
,
( ( ))
DI
A
z
a z a
z
không
phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ
A
. Vì vậy hai hệ chính tắc của
các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau:
Với mỗi tập mở
DX
chúng ta cố định một hệ chính tắc của các
miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ
A
của một tập mở
DX
ta chỉ cần chỉ rõ họ con
,
( ( ))
DI
A
z
a z a
z
.
Nếu ta cố định một tập con mở
DX
và một hệ các miền xấp xỉ
,
( ( ))


DI
A= A
z
a
za
z
của
D
thì với mỗi hàm


: ,  uD
định nghĩa

, ( ),
( limsup )( ): sup limsup ( ) ,
I  

z
w z w z
u z u w z D
A
A Î
a
a

Từ định nghĩa 1.1.1(i),
( limsup )
D
uA |
trùng với khái niệm hàm
chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của
.u

1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ
Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức.
Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó.
1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ
Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1
(i)-(ii').
1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở
Cho
E
là một đĩa đơn vị mở của

. Đặt

( ): : arg , ,0 ,
2











t
t E EA Î < Î < <
a
z
z a z a
z


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

7
Trong đó
( , ]

C arg :
là hàm argument thông thường.
,0
2
( ( ))


a
za
z
E <<
A
là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của
E
. Trong trường
hợp này
A
-giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc.
1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện
Riemann.
Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong
trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa
phương hệ các miền xấp xỉ góc của
E
.
Cho
X
là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác
X
là
diện Riemann) và
DX
là một tập mở, khi đó
D
được gọi là tốt tại một
điểm
Dz Î
nếu tồn tại một miền Jordan
UX
sao cho
Î Uz
và
UDÇ

là phần trong của một cung Jordan.
Giả sử
D
được gọi là tốt tại
z
, điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn
tại một lân cận
V
của
z
sao cho
0
V V DÇ
là một miền Jordan. Nếu không
tồn tại lân cận
V
như vậy thì
z
được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu
z

là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở
V
của
z
và hai miền Jordan rời nhau
12
,VV
sao cho
12
V D V VÇÈ
. Hơn nữa
D
được gọi là tốt trên một tập con
A
của
D
nếu
D
là tốt tại tất cả các điểm của
A
.
Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa
trên. Cho
G
là hình vuông mở trong

với các đỉnh là
1 , 1 , 1 ,    i i i

1i
. Định nghĩa miền

11
:,
22




DG\


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

8
Khi đó
D
là tốt trên
11
,
22




G È
, tất cả các điểm của
G
là
kiểu 1 và tất cả các điểm của
11
,
22




là kiểu 2.
Giả sử
D
là tốt trên một tập con khác rỗng
A
của
D
. Ta định nghĩa
hệ các miền xấp xỉ góc giá trên
A
:
,
( ( ))


z
a
za
z
DI
AA
như sau:
• Nếu
Î DAz \
thì
( ( ))

z
aa
z
I
A
trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu
Î Az
thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác

từ
0
V
(tương
ứng
12
,VV
) tới
E
khi
z
là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các
miền xấp xỉ góc tại điểm
0
2
( ) : ( ( ( )))

  A
<<
Î E
a
a
zz
tới điểm
Î Dz
(xem
[28]).
Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có
thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên
E
(tương ứng
E
) tới
D
(tương ứng
D
).
1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón
Cho
 
n
D
là một miền và
AD
. Giả sử với mọi điểm
Î Az
thì
tồn tại không gian tiếp xúc (thực)
T
z
của
D
tại
z
. Ta định nghĩa hệ các miền
xấp xỉ nón giá trên
A
:
,
( ( ))


z
a
za
z
DI
AA
như sau:
• Nếu
D \ AÎz
thì
( ( ))

z
aa
z
I
A
trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu
Î Az
thì
 
( ): : . ( , ) ,Tz D z zA distÎ<
az
z z a

trong đó
: (1, )I
z
và
( , )Tz
z
dist
là ký hiệu khoảng cách Euclid từ
điểm
z
tới
T
z
.
Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trên
A

trong trường hợp tổng quát:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9
X
là một đa tạp phức tuỳ ý,
DX
là một tập mở và
AD
là một
tập con với tính chất: tại mọi điểm
Î Az
thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực)
T
z
của
D
.
Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các
điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần
1.1.2.3.
1.2. Tập đa cực
Cho
X
là một đa tạp phức,
DX
là một tập con mở, ký hiệu
()DPSH
là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên
D
. Khi đó
+
AD
được gọi là mỏng trong
D
nếu mọi điểm
aDÎ
, tồn tại lân
cận liên thông

a
U U D
và một hàm chỉnh hình
f
trên
D
không đồng nhất
bằng không sao cho
1
(0)

U A fÇ
.
+
AD
được gọi là đa cực trong
D
nếu có
()PSHÎuD
sao cho
u
không đồng nhất bằng

trên mọi thành phần liên thông của
D
và
 
: ( )  ÎA z D u z
.
+
AD
được gọi là đa cực địa phương trong
D
nếu với mỗi
ÎzA

có một lân cận mở
VD
của
z
sao cho
AVÇ
là đa cực trong
V
.
+
A
được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)
nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương).
Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4])
ta thấy nếu
D
là một miền Riemann- Stein thì
AD
là đa cực địa phương
nếu và chỉ nếu nó là đa cực.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Với một tập
AD
đặt

 
,
: sup : ( ), 1 trong , -limsup 0 trong ,  
AD
h u u D u D u APSH AÎ


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

10
Định nghĩa 1.3.1. Với một tập
AD
hàm cực trị tương đối của
A
đối với
D
là hàm
( , , )w AD
được xác định bởi

,
( , , ) ( , , ): ( limsup )( ), .  
AD
z A D z A D h z z D
A
A Îww

Chú ý rằng khi
AD
định nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về
hàm cực trị tương đối của Siciak. Khi
D
là đa tạp phức 1 chiều và
A
là hệ
chính tắc thì hàm
( , , )w AD
thường được gọi là hàm độ đo điều hoà của
A

tương đối với
D
.
Định nghĩa 1.3.2.
+ Một tập
AD
là đa chính quy địa phương tại một điểm
aAÎ

nếu
( , , ) 0w a A U D UÇÇ
với mọi lân cận mở
U
của
a
.
+ Tập
A
được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy
địa phương tại mọi điểm
ÎaA
.
Ta ký hiệu

A
là tập hợp sau


( ) : Ç È Î ÇA D a A D A
là đa chính quy địa phương tại

a
.
Nếu
AD
không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của
Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng

A
là đa chính quy địa phương
và

AA\
là đa cực địa phương. Hơn nữa

A
là địa phương kiểu

G
( nghĩa là
với mỗi

ÎaA
có một lân cận mở
UD
của
a
thoả mãn

AUÇ
là giao
đếm được của các tập mở ).
1.4. Độ đo đa điều hoà dƣới
Với một tập
AD
, đặt
 
()
()




PA
A A PA
trong đó
( ) ( , ): :

  A A P DA {
là đa chính quy địa phương,

PA}
,
Hàm độ đo đa điều hoà dưới của
A
đối với
D
là hàm

( , , )w AD
được
định nghĩa bởi :

Xem chi tiết: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến