PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Nội dung bài học:

Phương trình đường tròn.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.


.
I
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a; b),
bán kính R.
a
b
O
y
x
M(x;y)
R
Điểm M(x;y) thuộc (C)
khi và chỉ khi nào?
Ta có:
M(x;y) ∈ (C)  IM = R
Rb)(ya)(x
22
=−+−⇔
222
)()( Rbyax =−+−⇔
(1)


1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Phương trình (x – a)
2
+ (y–b)
2
= R
2
được gọi là phương
trình tổng quát của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.
Ví dụ 1: a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –3) và
bán kính R= 2
b) Cho các điểm A(2; –1); B(3;1); C(0; –3). Điểm nào
thuộc đường tròn (C).
Bài giải:
a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;–3); bán
kính R= 2 là:
(x – 2)
2
+ (y + 3)
2
= 4
b) Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; –1) và điểm
C(0;–3).
 Đường tròn (C) hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và bán kính.


Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 1) và B(5;3). Viết phương trình
đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.
Bài giải: Đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên có tâm
I(x
I
; y
I
) là trung điểm của AB và bán kính là
Tọa độ tâm I:







=
+
=
=
+
=
⇔







+
=
+
=
2
2
31
4
2
53
2
2
I
I
BA
I
BA
I
y
x
yy
y
xx
x
=> I(4;2)
Bán kính R:
22
)13()35(
)()(
22
22
=
−+−=
−+−=
AB
AB
yyxxAB
ABAB
2
AB
=> R=
2
Phương trình đường tròn (C) là: (x–4)
2
+ (y–2)
2
=2
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
A B
.
I
O
y
x


Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O
và có bán kính R là:
x
2
+ y
2
=R
2

y
O x
R
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:


2. Nhận xét:
 Phương trình đường tròn (C): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
có thể
viết dưới dạng x
2
+ y
2
–2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a
2
+ b
2
–
R
2
.
cba −+
22
 Phương trình x
2
+ y
2
– 2ax –2by + c = 0 là phương trình
đường tròn (C)  a
2
+ b
2
– c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm
I(a; b) và bán kính R =
o
Nếu đường tròn (C) có phương trình (x–a)
2
+ (y–b)
2
= R
2
thì:
(x–a)
2
+ (y–b)
2
= R
2

 x
2
– 2ax + a
2
+ y
2
– 2by + b
2
= R
2
 x
2
+ y
2
–2ax –2by + a
2
+ b
2
– R
2
= 0
 x
2
+ y
2
– 2ax –2by + c = 0 với c = a
2
+ b
2
–R
2

o
Ngược lại nếu phương trình x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 là phương
trình của đường tròn (C) thì ta phải đưa được về dạng:
(x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (*)
 x
2
– 2ax + a
2
+ y
2
– 2by + b
2
– a
2
– b
2
+ c = 0
 ( x– a)
2
+ ( y– b)
2
= a
2
+ b
2
– c
Để phương trình (*) là phương trình đường tròn thì: a
2
+ b
2
–c > 0.
 Phương trình mà các hệ số của x
2
và y
2
khác nhau thì nó
không phải là phương trình của đường tròn.


Ví dụ1: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình
sau đây là phương trình đường tròn. Xác đònh tâm và bán
kính:
2x
2
+ y
2
– 8x + 2y –1 = 0; (1)
x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 4 = 0; (2)
x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 20 = 0; (3)
x
2
+ y
2
+ 6x + 2y + 10 = 0. (4)
Bài giải:

Phương trình (1) không phải là phương trình của đường tròn vì
hệ số của x
2
và y
2
khác nhau.

Phương trình (2) có a=–1; b=2; c=–4 thỏa mãn a
2
+ b
2
–c > 0 là
phương trình của đường tròn (C) tâm I(–1;2) bán kính R = 3

Phương trình (3) có a=1; b=3; c=20 không thỏa a
2
+ b
2
– c>0
nên không phải là phương trình đường tròn.

Phương trình (4) có a=–3; b= –1; c =10 không thỏa a
2
+b
2
- c>0
nên không là phương trình của đường tròn.


2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
∆
M
0
.
I
Cho đường tròn (C) có
tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp
tuyến của (C) tại điểm
M
o
(x
o
;y
o
) nằm trên đường
tròn.





−−=∆
∆
⇒
);(
);(
00
00
byax
yx
0
0
IM tuyến phápvectơ có
M điểm qua đi


2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Do đó ∆ có phương trình là:
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0
(2)
Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến
của đường tròn ( x– a)
2
+ (y – b)
2
=R
2
tại điểm
M
0
(x
0
; y
0
) nằm trên đường tròn.


2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn :
(C) : (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 25
đi qua điểm M
0
(4; 2).
Bài giải:
Ta thấy điểm M
0
(4; 2) thuộc đường tròn (C) có
tâm là I(1; –2). Do đó phương trình tiếp tuyến với (C)
tại M
0
là:
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
)= 0.
 (4 – 1)(x – 4) + ( 2 + 2)(y – 2) = 0.
 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0.
 3x + 4y –20 = 0.


Củng cố bài học:

Phương trình của đường tròn có tâm I(a; b) và bán
kính R:
(x - a)
2
+ (y - b)
2
=R
2
 x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 với c= a
2
+ b
2
–R
2
2 2
a b c+ −

Phương trình x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 là phương trình
đường tròn khi và chỉ khi a
2
+ b
2
–c >0. Khi đó đường
tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R=

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc đường tròn (C) :
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0


Trắc nghiệm:
Bài tập 1: Đường tròn (C) có phương trình :
(x – 3)
2
+ (y + 4)
2
= 9
Đường tròn (C) có tâm là:
a) I(3;4) b) I(–3;4)
c) I(3;–4) d) I(–3;–4)
Bài tập 2: Đường tròn (C) có phương trình:
x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 6 = 0
Đường tròn (C) có tâm là:
a) I(–3;–1)
b) I(3;1)
c) I(–3;1)
d) I(3;–1)
0123456789

Xem chi tiết: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN