Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Trong tính gần đúng ta làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Cho nên vấn đề
đầu tiên cần nghiên cứu là vần đề sai số.Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là
a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a A.
≈
Trị tuyệt đối
Δ
a
= | a-A | (1.1)
được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A).
Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính
được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số E
a
>0 sao cho
| a - A | ≤ E
a
(1.2)
Số dương E
a
được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Rõ ràng nếu E
a
là sai số tuyệt
đối giới hạn của a thì mọi E
> E
a
đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Nếu sai số tuyệt đối
giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa.
Trong những điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn E
a
là số dương bé nhất có thể được thoã
mãn (1.1). Nếu E
a
là sai số tuyệt đối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:
A = a ± E
a
(1.3)
với ý nghĩa của (1.1), tức là
a - E
a
≤ A ≤ a + E
a
(1.4)
1.2.2. Sai số tương đối
Gọi Δ
a
là sai số tuyệt đối của a khi dùng a để xấp xỉ A, khi đó đại lượng
δ
a
=
|| a
a
Δ
(1.5)
được gọi là sai số tương đối của a. Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không
biết, vì vậy người ta định nghĩa đại lượng
ε
a
=
|| a
E
a
(1.6)
là sai số tương đối giới hạn của a. Từ đây ta có
E
a
= | a| ε
a
(1.7)
Từ đây người ta thường viết
A = a(1 ± ε
a
) (1.8)
Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do đó người ta thường
gọi một cách đơn giản E
a
là sai số tuyệt đối, ε
a
là sai số tương đối. Đôi khi người ta biểu diễn
sai số tương đối dưới dạng %. Ví dụ với a =10, E
a
= 0.05, khi đó ta có ε
a
= 0.05/10 = 0.5 %.
1.2.3. Chú thích:
Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn
được phản ánh qua sai số tương đối.
6
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ
1.3.1. Chữ số có nghĩa
Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ
chữ số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các chữ
số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa.
1.3.2. Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân đều có dạng
a = ±
mnn −−−−
ααααααα
21011
= ± Σ α
s
10
s
Trong đó α
s
là những số nguyên từ 0 đến 9. Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối
là Δ
a
. Nếu Δ
a
≤ 0.5*10
s
thì ta nói rằng chữ số α
s
là đáng tin (và như vậy các chữ số có nghĩa bên
trái α
s
đều là đáng tin). Nếu Δ
a
> 0.5*10
s
thì ta nói rằng chữ số α
s
là đáng nghi (và như vậy các
chữ số bên phải α
s
đều là đáng nghi).
Ví dụ. Số xấp xỉ a = 4.67329
với Δ
a
= 0.004726. Ta có | Δ
a
| ≤ 0.5 *10
-2
do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ
số đáng ngờ là 3,2, 9.
với Δ
a
= 0.005726. Ta có | Δ
a
| ≤ 0.5 *10
-1
(nhưng | Δ
a
| > 0.5 *10
-2
) do đó các chữ số
đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng ngờ là 7, 3, 2, 9.
1.3.3. Cách viết số xấp xỉ
a. Kèm theo sai số
Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như công thức (1.3) A = a ± E
a
b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin
Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số
tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.
1.3.4. Sai số quy tròn
Trong tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước sau: nếu chữ số bỏ
đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5
thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là E . Giả sử ta quy tròn a thành a'
với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là:
| a' - a| ≤ θ.
Ta có
| a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + E
Vậy có thể lấy θ +E làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng
sai số tuyệt đối giới hạn.
7
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
1.4. CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ
1.4.1. Mở đầu
Ta xét bài toán tổng quát hơn như sau:
Xét hàm số u của 2 biến số x và y:
u = f(x,y)
Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ
của giá trị đúng U = f (X,Y).
Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u.
Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x.
Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤
Δ
x
Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:
du =
x
u
∂
∂
dx +
y
u
∂
∂
dy
Từ đây
Δu ≈
x
u
∂
∂
Δx +
y
u
∂
∂
Δy
Suy ra
Δ
u
= |
x
u
∂
∂
| Δ
x
+ |
y
u
∂
∂
|
Δ
y
(1.9)
1.4.2. Sai số của tổng
Cho u = x + y
Ta có
x
u
∂
∂
=
y
u
∂
∂
= 1
Từ (1.9) suy ra
Δ
u
=
Δ
x
+ Δ
y
(1.10)
Ta có quy tắc sau:
Sai số tuyệt đối giới hạn của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng.
Ghi chú. Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta có
δ
u
=
Δ
u
/|u| = ( Δ
x
+
Δ
y
)/ |x-y|
Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối giới hạn rất lớn. Do đó trong tính toán
người ta tìm cách tránh trừ những số gần nhau.
1.4.3. Sai số của tích
Cho u = xy
8
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
Ta có
x
u
∂
∂
= y,
y
u
∂
∂
= x
Từ (1.9) suy ra
Δ
u
= |y|
Δ
x
+ |x|
Δ
y
Do đó δ
u
= Δ
u
/|u| = Δ
x
/|x| +
Δ
y
/|y| = δ
x
+ δ
y
Vậy
δ
u
= δ
x
+ δ
y
(1.11)
Ta có quy tắc sau:
Sai số tương đối giới hạn của một tích bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số
hạng của tích.
Xét trường hợp đặc biệt u = x
n
ta có
δ
x
n = n δ
x
(1.12)
1.4.4. Sai số của thương
Cho u = x/y
Ta có
x
u
∂
∂
=
y
1
,
y
u
∂
∂
=
2
y
x
−
Từ (1.9) suy ra
Δ
u
= |
y
1
| Δ
x
+ |
2
y
x
|
Δ
y
Ta có
Δ
u
/ |u| =
Δ
u
. |
x
y
| = |
x
y
| ( |
y
1
|
Δ
x
+ |
2
y
x
|
Δ
y
) = |
x
1
|
Δ
x
+ |
y
1
|
Δ
y
=
Suy ra:
δ
xy
= δ
x
+ δ
y
(1.13)
Ta có quy tắc sau:
Sai số tương đối giới hạn của một thương bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các
số hạng của thương.
1.4.5. Sai số của hàm bất kỳ
Cho u = f(x
1
, x
2
, , x
n
)
Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:
du =
1
x
u
∂
∂
dx
1
+
2
x
u
∂
∂
dx
2
+ +
n
x
u
∂
∂
dx
n
9
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
Từ đây ta có
Δu ≈
1
x
u
∂
∂
Δx
1
+
2
x
u
∂
∂
Δx
2
+ +
n
x
u
∂
∂
Δx
n
Suy ra
Δ
u
= |
1
x
u
∂
∂
| + |Δ
1
x
2
x
u
∂
∂
|
Δ
2
x
+ + |
n
x
u
∂
∂
|
Δ
n
x
(1.14)
Ví dụ. Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu:
V = (1/6)πd
3
nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016.
Giải.
Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1.12) và (1.13) ta có
δ
V
= δ
π
+ 3δ
d
(Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối)
δ
π
= 0.0016/3.14 = 0.0005
δ
d
= 0.05/3.7 = 0.0135
Suy ra δ
V
= 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04
Mặt khác V = (1/6)πd
3
= 26.5 cm
3
Ta có
Δ
V
= |V|*δ
V
= 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm
3
V = 26.5 ± 1.1 cm
3
1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP
Như chúng tôi đã nhắc đến ở trên, khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó
bằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài
toán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng.
Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng
đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta
thường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như
vậy được gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính
toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện. Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và
sai số tính toán ta xét ví dụ sau:
Ta biết rằng với số x bất kỳ ta có
e
x
= 1+
!1
x
+
!2
2
x
+ +
!n
x
n
+
Công thức này có thể dùng để tính giá trị e
x
. Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thực
tế ta chỉ tính được tổng S
n
= 1+
!1
x
+
!2
2
x
+ +
!n
x
n
, nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần
đúng. Khi tính tổng S
n
ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán S
n
.
Việc đưa ra một đánh giá về sai số tổng hợp của cả hai loại sai số trên là bài toán rất phức tạp.
10
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
1.6. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT QUÁ TRÌNH TÍNH TOÁN
Xét một quá trình tính toán về lý thuyết có vô hạn bước để tính ra một đại lượng nào đó. Ta
nói rằng quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là sai số quy tròn tích lũy lại không tăng
vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là không ổn định.
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì không có hy vọng tính được đại lượng cần
tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép.
Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính toán thường người ta giả sử sai số chỉ xảy
ra tại một bước, các bước sau đó coi như không có sai số khác phát sinh. Nếu cuối cùng sai số tính
toán không tăng vô hạn thì coi như quá trình tính là ổn định.
1.7. MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MÔ HÌNH
Theo những điều vừa nói trên đây thì chúng ta luôn hiểu thực tế là tuyệt đối đúng, sai số chỉ
xảy ra khi ta muốn mô hình hóa thực tế và tiến hành tính toán mô hình đó. Thực vậy, chúng ta có
cảm giác rằng giới tự nhiên đang hoạt động một cách chính xác: hệ mặt trời đã có khoảng 5 tỷ
năm tuổi, nhưng sự vận hành của nó có vẻ vẫn hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn đều
theo quy luật. Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày thì quả đất quay đủ một vòng quanh mặt trời và hầu
hết các vùng trên trái đất đều trải qua bốn mùa. Chúng ta có thể hình dung rằng chỉ cần mỗi năm
sự vận hành của các hành tinh sai lệch đi chút ít thì trong hàng tỷ năm sai số tích lũy có thể sẽ gây
nên những biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo các nhà thiên văn thì sự vận hành của các hành
tinh không tuyệt đối hoàn hảo như ta tưởng. Xét vị trí của mặt trời và trái đất chẳng hạn, theo lý
thuyết thì nếu ngày hôm nay mặt trời đứng ở vị trí giữa bầu trời tính từ đông sang tây thì sau 24
giờ nữa nó cũng ở vị trí giữa bầu trời (tất nhiên là có thể chếch về phía nam nếu ta đang ở Việt
nam). Nhưng trong thực tế không phải như vậy. Các nhà thiên văn đã không thể xây dựng được
múi giờ một cách chính xác và nhất quán nếu dựa vào vị trí của mặt trời. Nói cụ thể hơn, nếu dựa
vào vị trí mặt trời của năm nay làm múi giờ cho các vùng trên trái đất thì năm sau thời gian đó
không còn thích hợp cho quỹ đạo của mặt trời nữa, mà có khác đi chút ít. Chính vì sự "đỏng đảnh"
của mặt trời như vậy nên các nhà thiên văn đã đưa ra khái niệm mặt trời trung bình và thời gian
trung bình. So với mặt trời trung bình và thời gian trung bình thì hàng năm mặt trời thật đi lệch
trong khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút. Tuy nhiên sở dĩ các sai số này không tích lũy từ
năm này sang năm khác là vì các sai số giao động quanh vị trí trung bình và triệt tiêu lẫn nhau
theo thời gian.
Nghĩa là, không chỉ mô hình của chúng ta, mà ngay cả giới tự nhiên cũng có những sai số. Tuy
nhiên các sai số trong giới tự nhiên đều có quy luật và thường triệt tiêu lẫn nhau, do đó không làm
ảnh hưởng đến sự vận hành của các vật thể.
BÀI TẬP
Bài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau:
a= 21
o
37’3”; b=1
o
10’
Hãy xác định sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo
là 1”.
11
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số
Bài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của
chúng:
a) a= 13267 ; δ
a
=0,1%
b) b=2,32; δ
b
=0,7%
Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau:
a) a= 0,3941;
Δ
a
=0,25.10
-2
b) b=38,2543;
Δ
a
= 0,27.10
-2
Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau:
a) a=1,8921; δ
a
=0,1.10
-2
b) a=22,351; δ
a
=0,1
Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai
số tuyệt đối
Δ
và sai số tương đối δ của chúng:
a) a= 2,514; b) 0,16152
c) 0,01204; d) –0,0015281
Bài 6. Hãy xác định giá trị của các hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối
ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.
a) u=ln(x+y
2
); x=0,97; y=1,132
b) u=(x+y)
2
z; x=3,28; y=0,932; z=1,132
12
Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính
CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:
Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:
1. Hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ của hệ phương
trình tuyến tính.
2. Biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận, tìm ma
trận nghịch đảo, giải quyết các bài toán thực tế.
3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp
2.1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
2.1.1. Ma trận
Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
A = . . .
a
m1
a
m2
a
mn
ở đây a
ij
là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m = n ta có ma trận cấp nxn
và được gọi tắt là ma trận vuông cấp n.
Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là a
ij
= a
ji
= 0
với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có a
ii
= 1 thì ta gọi A là ma trận
đơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I.
Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng
a
11
a
12
a
1n
0
a
22
a
2n
A = . . .
0
0 a
nn
13
Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính
Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng:
a
11
0 0
a
21
a
22
0
A = . . .
a
n1
a
n2
a
nn
Ma trận chữ nhật A
T
cấp n x m được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A cấp m x n nếu:
a
11
a
21
a
m1
a
12
a
22
a
m2
A
T
= . . .
a
1n
a
2n
a
mn
2.1.2. Định thức của ma trận
Trước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận, chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vị
chẵn, hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên {1, 2, , n}.
Cho α = (i
1
, i
2
, , i
n
) là một hoán vị của tập {1,2, ,n}. Ta xét tất cả các cặp (i
k
, i
h
), trong đó
k < h. Nếu i
k
> i
h
thì ta gọi cặp (i
k
, i
h
) là cặp ngược, tức là các giá trị i
k
, i
h
được sắp xếp ngược với
k,h. Nếu trong α số cặp ngược là chẵn thì ta gọi α là hoán vị chẵn, ngược lại thì ta gọi α là hoán
vị lẻ.
Với mỗi ma trận vuông A cấp n:
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
A = . . .
a
n1
a
n2
a
nn
tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A, được xác định
bởi công thức:
det A =
∑
s(i
α
1
, i
2
, , i
n
) (2.0)
n
niii
aaa
21
21
với α = (i
1
, i
2
, , i
n
) chạy trong tập tất cả các hoán vị của tập {1,2, ,n}, và
s(i
1
, i
2
, , i
n
) =
1 nếu α là hoán vị chẵn
-1 nếu α là hoán vị lẻ
14
Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính
Định thức của ma trận còn được ký hiệu là
a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
A = . . .
a
n1
a
n2
a
nn
Với mỗi ma trận chữ nhật A cấp m x n bất kỳ ta có thể tính định thức của tất cả các ma
trận con vuông cấp k, với k ≤ min (m, n). Nếu tồn tại một số r sao cho có một ma trận con cấp r
có định thức khác 0, còn mọi ma trận con vuông cấp lớn hơn r đều bằng 0 thì ta nói rằng r là hạng
của ma trận A.
Các phép biến đổi sơ cấp sau đây không làm biến đổi hạng của ma trận:
• Đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột bất kỳ.
• Nhân một hàng hay một cột bất kỳ với một số khác không.
• Cộng các thành phần tương ứng của 2 hàng hoặc hai cột bất kỳ.
Các phép biến đổi sơ cấp sẽ được sử dụng để tính định thức của ma trận và tìm nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính.
Ma trận E được gọi là ma trận đơn vị cấp n nếu E là ma trận vuông cấp n và E có dạng
1
0 0
0
1 0
E = . . .
0
0 1
2.1.3. Các phương pháp tính định thức
a. Tính định thức dựa trực tiếp vào định nghĩa
Ta có thể dùng (2.0) để tính định thức của một ma trận trên máy tính. Tuy nhiên cách tính
này đòi hỏi khoảng c*n! phép tính. Đây là con số khổng lồ với n không lớn lắm. Ví dụ với máy
tính hiện đại nhất hiện nay cũng cần hàng triệu năm để tính định thức của ma trận cấp n = 25.
b. Tính định thức dựa vào công thức khai triển theo hàng
Cho A là ma trận vuông cấp n và a
ij
là một phần tử bất kỳ của nó. Định thức của ma trận
con cấp n-1 sau khi “xóa” hàng thứ i và cột thứ j đi và không thay đổi vị trí các thành phần còn
lại, được gọi là minor của phần tử a
ij
, và được ký hiệu là M
ij
. Giá trị A
ij
= (-1)
i+j
M
ij
được gọi là
phần bù đại số của phần tử a
ij
. Ta có các công thức sau để tính định thức ma trận vuông cấp n
thông qua việc tính định thức của các ma trận con cấp bé hơn:
Khai triển định thức theo hàng thứ i:
det A =
∑
a
=
n
j 1
ij
A
ij
15
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét